Question

已知函数f（x）=e^x-x²+a的图象在点x=0处的切线为y=bx（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=-1，b=1，即可得到f（x）的解析式；
（2）令φ（x）=f（x）-（x-x²）=e^x-x-1，求出导数，单调区间和极值、最值，即可得证；
（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即为k＜

f(x)

x

对?x＞0恒成立，运用导数，求得右边函数的最小值，即可得到k的范围．

解答： （1）解：函数f（x）=e^x-x²+a的导数为f′（x）=e^x-2x，
在点x=0处的切线为y=bx，即有f′（0）=b，即为b=1，
即切线为y=x，
又切点为（0，1+a），即1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e^x-x²-1；
（2）证明：令φ（x）=f（x）-（x-x²）=e^x-x-1，
则φ′（x）=e^x-1，φ′（x）=0，则x=0，
当x＜0时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，当x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，
则φ（x）_min=φ（0）=0，则有f（x）≥x-x²；
（3）解：若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
即为k＜

f(x)

x

对?x＞0恒成立，
令g（x）=

f(x)

x

，x＞0，则g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

，
由（2）知，当x＞0时，e^x-x-1＞0恒成立，则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有g（x）_min=g（1）=e-2，则k＜g（x）_min=e-2，
即k的取值范围是（-∞，e-2）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，运用参数分离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值是解题的关键．