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已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的最小值是数学公式,最大值是数学公式.请解答以下问题:
(1)判断函数g(x)=-x3是否属于集合M?并说明理由,若是,请找出满足②的闭区间[a,b];
(2)若函数数学公式,求实数t的取值范围.

解:(1)函数g(x)=-x3的定义域为 R,g′(x)=-3x2≤0 (仅在x=0时取等号),
故函数g(x)在R上是减函数,故满足条件①.
若g(x)∈M,当x∈[a,b]时,,即 ,解得 ,故满足条件②的闭区间为[-].
由此可得,g(x)属于集合M.
(2)函数h(x)的定义域是[1,+∞),当x>1时,,故函数h(x)在[1,+∞)上是增函数,…
若h(x)∈M,则存在a,b∈[1,+∞),且a<b,使得,即,且,…
,则y≥0,
于是关于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有两个不等的实根,…
记u(y)=y2-2y+1-2t,∴,∴.…
分析:(1)函数g(x)的定义域为 R,利用导数求得函数g(x)在R上是减函数,故满足条件①.若g(x)∈M,当x∈[a,b]时,,解得a、b的值,可得满足条件②的闭区间存在,从而g(x)属于集合M.
(2)利用导数可得函数h(x)在定义域[1,+∞)上是增函数.若h(x)∈M,则存在a,b∈[1,+∞),且a<b,使得,即,且.令,则y≥0,于是关于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有2个不等实根,利用二次函数的性质求得t的范围.
点评:本题主要考查函数的定义域、单调性的应用,求函数的最值,体现了转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:
①函数f(x)在其定义域上是单调函数;
②在函数f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
.请解答以下问题
(1)判断函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0,+∞))
是否属于集合M?并说明理由;
(2)判断函数g(x)=-x3是否属于集合M?并说明理由.若是,请找出满足②的闭区间[a,b];
(3)若函数h(x)=
x-1
+t∈M
,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:
①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数;
②在f(x)的定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判断函数y=-x3是否属于集合M?并说明理由.若是,请找出区间[a,b];
(Ⅱ)若函数y=
x-1
+t
∈M,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)组成的集合:①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数;②在f(x)的定义域内存在区间,使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判断函数f(x)=
x
是否属于集合M?若是,则求出a,b,若不是,说明理由;
(Ⅱ)若函数f(x)=
x-1
+t∈M
,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体
①函数f(x)在其定义域上是单调函数.
②f(x)的定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域为[
a
2
b
2
].
(1)判断函数f(x)=x+
2
x
(x>0)
是否属于M,说明理由.
(2)判断g(x)=-x3是否属于M,说明理由,若是,求出满足②的区间[a,b].

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体:①f(x)在其定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,最大值是
b
2
.请解答以下问题:
(1)判断函数g(x)=-x3是否属于集合M?并说明理由,若是,请找出满足②的闭区间[a,b];
(2)若函数h(x)=
x-1
+t∈M
,求实数t的取值范围.

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