Question

20．证明：1，$\sqrt{3}$，2不能为同一等差数列的三项．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义，利用反证法进行证明．

解答 证明：假设1，$\sqrt{3}$，2为同一等差数列的三项．
可设该等差数列的首项为a，公差为d，
其中1，$\sqrt{3}$，2分别是等差数列的第m、n、k项，
则1=a+（m-1）d，①
$\sqrt{3}$=a+（n-1）d，②
2=a+（k-1）d，③
∴②-①得$\sqrt{3}$-1=（n-m）d，
③-①得1=（k-m）d，
将上面两式相除得：
$\sqrt{3}$-1=$\frac{n-m}{k-m}$
这是不可能的，上式右边是有理数，左边是无理数．
∴假设不成立，
即1，$\sqrt{3}$，2不能为同一等差数列的三项．

点评 本题主要考查反证法的应用，结合等差数列的定义和性质是解决本题的关键．