【题目】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,其中a1=1,且a2、a4、a6+2成等比数列;数列{bn}的前n项和为Sn , 满足2Sn+bn=1
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)如果cn=anbn , 设数列{cn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<Sn+ .
【答案】
(1)解:设数列{an}的公差为d,
∵a2、a4、a6+2成等比数列;
∴ =a2(a6+2),
即 =(a1+d)(a1+5d+2),d>0.
解得d=1,
∴an=1+(n﹣1)=n.
由2Sn+bn=1,
得Sn= ,
当n=1时,2S1+b1=1,解得b1= ,
当n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣
=
+
,
∴ ,
∴数列{bn}是首项为 ,公比为
的等比数列,
故 .
(2)解:证明:由(1)知,cn=anbn= ,
∴Tn= +…+
,
=
+…+
+
,
得 =
+…+
﹣
=
﹣
=
﹣
,
∴Tn= ﹣
.
又 =
+
=
﹣
,
∵ =
,
∴Tn<Sn+ .
【解析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出;(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格
(单位:元/套)满足的关系式
,其中
,
为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
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【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(Ⅰ)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
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【题目】抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:
-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ).
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆
过点
,且与
的交于
,
.
(1) 用 表示
,
的横坐标;
(2)设以 为焦点,过点
,
且开口向左的抛物线的顶点坐标为
,求实数
的取值范围.
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【题目】平面直角坐标系xoy中,椭圆C1: +
=1(a>b>0)的离心率为
,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6.
(1)求椭圆的方程;
(2)A,B是抛物线C2:x2=4y上两点,且A,B处的切线相互垂直,直线AB与椭圆C1相交于C,D两点,求弦|CD|的最大值.
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【题目】已知函数f(x)= ﹣alnx,其中a>0,x>0,e是自然对数的底数. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设函数g(x)= ,证明:0<g(x)<1.
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【题目】若存在实常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”,已知函数f(x)=x2(x∈R),g(x)= (x<0),h(x)=2elnx,有下列命题:
①F(x)=f(x)﹣g(x)在 内单调递增;
②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b的最小值为﹣4;
③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2 x﹣e.
其中真命题的个数为(请填所有正确命题的序号)
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