Question

已知点P（1，）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜）的一个最高点，且f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，求这个函数的解析式，并作出一个周期的图象．

Answer 1

解：∵点P（1，）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜）的一个最高点，
∴A=，
∵f（9-x）=f（9+x），曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，
∴x=9是曲线的一条对称轴，且
∴T=16，
而，ω=，
，
∴，∵|φ|＜，
φ=
∴f（x）=sin（x+），
其图象如图所示：
分析：根据点P（1，）是曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜）的一个最高点，可知A=，由f（9-x）=f（9+x）得函数的一条对称轴方程为x=9，根据曲线区间（1，9）内与x轴有唯一一个交点，可知函数的周期，因此可求得函数的解析式；利用五点法列表，描点，即可画出函数的图象．
点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法以及五点法作图，根据题意求出周期是解题的关键，考查运算能力和作图能力，属中档题．