Question

（2012•成都一模）已知函数f（x）=x²-2mx+2-m
（1）若不等式f（x）≥-mx+2在R上恒成立，求实数m的取值范围
（2）设函数f（x）在[0，1]上的最小值为g（m），求g（m）的解析式及g（m）=1时实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，即x²-mx+2-m≥0恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
（2）函数f（x）=x²-2mx+2-m的对称轴为x=m，由此进行分类讨论，能够求出g（m）的解析式及g（m）=1时实数m的值．

解答：解：（1）由题意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，
即x²-mx+2-m≥0恒成立，
∴△=m²+4m-8≤0，
解得-2-2

3

≤m≤-2+2

3

．
∴实数m的取值范围是[-2-2

3

，-2+2

3

]．
（2）函数f（x）=x²-2mx+2-m的对称轴为x=m，
①当m＜0时，
函数f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（0）=2-m．
②当0≤m≤1时，
函数f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（1）=-3m+3，
综上所述，g（x）=

2-m，m＜0 -m2-m+2，0≤m≤1 -3m+3，m＞1

，
∵g（m）=1，
∴m=

5 -1

2

．

点评：本题考查函数恒成立的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．