Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax（x＞0），g（x）=3alnx+$\frac{5}{2}$a，其中a＞0．
（1）当a=1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）是否存在常数a，使两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同？若存在，请求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）a=1时，求出h（x），然后求导数，根据导数符号即可判断函数h（x）的单调性，从而得出其单调区间；
（2）可假设存在公共点（x₀，y₀），该点在f（x），g（x）的图象上，且在该点处的切线相同，从而可出f（x），g（x）在该点的导数值相等，这样便可得出关于x₀的方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3a}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，可整理得到x₀-1=2lnx₀，从而得出x₀=1，带入前面的式子又可以求出a，这样便得出存在常数a，使两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．

解答 解：（1）a=1时，h（x）=$f（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x-3lnx+\frac{5}{2}$，$h′（x）=x+2-\frac{3}{x}=\frac{{x}^{2}+2x-3}{x}$；
解x²+2x-3=0得，x=-3，或1；
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
∴h（x）的单调减区间为（0，1），增区间为[1，+∞）；
（2）假设存在，设公共点为（x₀，y₀），则：
${y}_{0}=\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a$；
∴f′（x）=x+2a，∴k=x₀+2a；
$g′（x）=\frac{3a}{x}$，∴$k=\frac{3a}{{x}_{0}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3a}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+4a{x}_{0}=6aln{x}_{0}+5a}&{①}\\{{{x}_{0}}^{2}=3a-2a{x}_{0}}&{②}\end{array}\right.$；
将②代入①：3a+2ax₀=6alnx₀+5a；
∴x₀-1=3lnx₀；
x₀=1，带入②得，a=1；
∴存在常数a，使两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，且a=1．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性及求单调区间的方法，二次函数的符号和对应一元二次方程根的关系，以及函数在切点处的导数和切线斜率的关系．