Question

{a_n}是正项数列，其前n项．和为Sn，且1与Sn的几何平均数等于1与a_n的算术平均数．
（1）求证：{a_n}为等差数列，并求a_n
（2）若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜logm2（m²-m）关于n∈N^*恒成立，求正数m的范围；
（3）记T_n=

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

，求证：4T_2ⁿ≥n+2．

Answer 1

分析：第1问利用几何平均数和算术平均数的概念列出S_n与a_n的关系式，然后利用：an=

S1          ，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥ 2

可得出a_n与a_n-1递推关系证明出{a_n}是等差数列；第2问因为第1问知{a_n}是等差数列，所以数列{

1

anan+1

}的前n项和可以用裂项法求出，然后根据数列的单调性和对数函数的单调性可以证明出该不等式．第3问先表达出T_n，然后在表达出4T2n，在构造f(n)=4T2n -n-2，利用f（n）-f（n-1）结果的正、负来判断出单调性，从而可以证明出最后的结论．

解答：解：（1）由题意得：2

Sn

=1+an，即4S_n=1+2a_n+a_n²      ①
当n=1时，a₁=1
当 n≥2时，4S_n1=1+2a_n-1+a_n-1^{2 ②
又}a_n＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1…4分
（2）由（1）知：

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan-1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n--1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
由数列{

1

2

(1-

1

2n+1

)}单调性知：

1

3

≤

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

由题意得：

log

(m2-m) m2

≥

1

2

，其中m＞0且 m≠1
∵

log

(m2-m) m2

=

1

2

log

(m2-m) m

∴

log

(m2-m) m

≥1=log_m^m…③
由

m＞0 m2-m ＞0

得：m＞1
 所以由③可得：m²-m≥m，即  m（m-2）≥0，∴m≥2  
 m的范围为[2，+∞）…9分
（3）由题意得：Tn=

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

∴4T2n=4(

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n+1

)=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)
令f(n)=4T2n -n-2
则f(n)-f(n-1)=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-n-2-2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

)+(n-1)+2
=2(

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

)-1
               ＞2(

2n-1

2n

)-1=0
∴f（n）单调递增．
由f(1)=4T2-3=4(

1

2

+

1

4

)-3=0
∴f（n）≥0
∴4T2n＞n+2…14分

点评：本题的第1问主要考查了an=

S1          ，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥ 2

运用及等比数列的定义．第2问主要考查裂项法求和，关键要弄清裂项法“什么时候用？怎么用？”，难点在有根据数列的单调性得出

1

3

≤

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

过渡到

log

(m2-m) m2

≥

1

2

．第3问主要证明不等式的方法是作差，把差式构造成关于正整数的函数，利用后项减前项得出了单调性，体现了用函数思想解决数列问题的常规方法．总体来说综合性较强难度偏大．