Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx，x∈R．
 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；  
 （Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先把函数通过恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的函数关系式，通过已知的定义域求出函数的值域．

解答： 解：函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1+1
所以：函数的周期为：T=π
（Ⅱ）由于x∈[-

π

6

，

π

4

]
所以：
2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
所以函数f（x）的值域为：[0，3]

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变形，正弦型函数的周期，根据定义域求正弦型函数的值域．