Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ可知a_n-a_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1、a_n-1-a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-2、…、a₂-a₁=（$\frac{1}{2}$）¹，进而累加计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n-a_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1，a_n-1-a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-2，…，a₂-a₁=（$\frac{1}{2}$）¹，
累加得：a_n-a₁=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．