Question

【题目】如图1所示，在等腰梯形ABCD中， ．把△ABE沿BE折起，使得 ，得到四棱锥A﹣BCDE．如图2所示．
（1）求证：面ACE⊥面ABD；
（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在等腰梯形ABCD中BC=3，AD=15，BE⊥AD，可知AE=6，DE=9．

因为 ，可得CE=6．

又因为 ，即AC2=CE2+AE2，则AE⊥EC．

又BE⊥AE，BE∩EC=E，可得AE⊥面BCDE，故AE⊥BD．

又因为 ，

则∠DBE=60°， ，则∠BEC=30°，

所以CE⊥BD，

又AE∩EC=E，所以BD⊥面ACE，

又BD面ABD，所以面ABD⊥面ACE

（2）解：设EC∩BD=O，过点O作OF∥AE交AC于点F，

以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣BCF．

在△BCE中，∵∠BEO=30°，BO⊥EO，

∴ ，则 ，

∵ ，

∴FO=3，则 ，

∵DE∥BC，DE=9，∴ ，∴ ，

∴ ，

设平面ABE的法向量为 ，

由 ，取 ，可得平面ABE的法向量为 =（ ），

设平面ACD的一个法向量为 ，

由 ，

取x2=1，可得平面ABE的一个法向量为 =（1，﹣3 ，﹣3 ）．

设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为θ，

则cosθ= = = ，

所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出AE⊥EC，AE⊥BD，CE⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明面ABD⊥面ACE．（2）设EC∩BD=O，过点O作OF∥AE交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣BCF，利用向量法能求出平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．