【题目】已知函数.
(1)如图,设直线将坐标平面分成四个区域(不含边界),若函数的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的的取值范围;
(2)当时,求证:且,有.
【答案】(1),;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据定义域确定只能在3,4区域,再根据确定只能在4,转化为不等式恒成立,分离变量得.利用导数求函数单调性,根据单调性确定函数最值,即得的取值范围;(2)作差函数,再利用二次求导确定为单调递减函数,最后根据,得,即得结论.
试题解析:(1)函数的定义域为,且当时,.
又直线恰好通过原点,
∴函数的图象应位于区域Ⅳ内,
于是可得,
即.
∵,∴.
令,则.
∴时,,单调递增;
时,,单调递减.
∴
∴的取值范围是.
(2)∵,
设,
则,
,
∴,
∴时 为单调递减函数,
不妨设,令(),
可得,
,∵且单调递减函数,
∴,∴,为单调递减函数,
∴,
即.
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【题目】设动点到定点的距离比它到轴的距离大,记点的轨迹为曲线.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若圆心在曲线上的动圆过点,试证明圆与轴必相交,且截轴所得的弦长为定值.
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【题目】在正方体中边长AB为2,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,Q为正方形ABCD内一点,M,N分别为AB,BC上靠近A和C的三等分点,若线段与OP相交且互相平分,则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为____.
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【题目】某篮球比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4局,则此队获胜,比赛就此结束.由于参加比赛的两队实力相当,每局比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一局比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每局比赛门票收入比上一局增加10万元,则组织者在此次比赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为________.
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【题目】椭圆: 的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为,过点作直线与相交于点直线分别与相交于.
(1)求证:;
(2)设,的面积分别为,若 ,求的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,直线:,直线:.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于,两点,直线与曲线交于,两点,求的面积.
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【题目】如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1:2,此铝合金窗占用的墙面面积为28800,设该铝合金窗的宽和高分别为,铝合金窗的透光部分的面积为.
(1)试用表示;
(2)若要使最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?
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【题目】(2018·邯郸一模)若甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ2)及N(μ2,σ2),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=64
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中
C. 甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
D. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
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