Question

若a=

∫

π 0

（sint+cost）dt，则（x+

1

αx

）⁶的展开式中常数项是（　　）

• A．-

  1

  8

• B．

  1

  8

• C．-

  5

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：根据题意，由定积分公式可得a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π，计算可得a的值，则有（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，由二项式定理可得其展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值，将r的值代入通项，计算可得其展开式中常数项，即可得答案．

解答：解：根据题意，a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π=2，
则（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，其展开式的通项为T_r+1=C₆^rx^6-r•（

1

2x

）^r=C₆^r（

1

2

）^rx^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，
此时T₄=C₆³（

1

2

）³=

5

2

；
故选D．

点评：本题考查二项式定理的运用，关键是由定积分公式求出a的值．