Question

已知多项式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n.
(1)求f(－1)及f(2)的值；
(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer 1

（1）0，17（2）见解析

(1)f(－1)＝0，f(2)＝17
(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．
①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k⁵＋k⁴＋k³－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)⁵＋(k＋1)⁴＋(k＋1)³－(k＋1)
＝＋
＋－(k＋1)＝f(k)＋k⁴＋4k³＋6k²＋4k＋1.
根据假设f(k)是整数，而k⁴＋4k³＋6k²＋4k＋1显然是整数．
∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．
由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．
(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数
(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，
所以f(n)＝f(－m)＝(－m)⁵＋(－m)⁴＋(－m)³－(－m)
＝－m⁵＋m⁴－m³＋m＝－f(m)＋m⁴是整数．
综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．