Question

（2013•永州一模）如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在线段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，将图甲沿OP折叠使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一个多面体（如图乙），M、N分别是AC、OP的中点．
（1）求证：MN⊥平面ACD；
（2）求平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD中点Q，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理证出OQ垂直于平面ACD，通过证明四边形OQMN为平行四边形得到OQ平行于MN，从而证出要证的结论；
（2）以O为坐标原点，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABC与底面OPAD的一个法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．

解答：（1）证明：如图，
取CD的中点为Q，连接MQ，OQ，
因为OC=OD，所以OQ⊥CD，
依题意知：面OCD⊥底面OPAD，
AD⊥OD，AD⊥平面OCD，
而OQ?面OCD，AD⊥OQ，
又CD∩AD=D，
所以OQ⊥面ACD，
MQ是△ACD的中位线，故MQ∥

1

2

AD，MQ=

1

2

AD，
NO∥

1

2

AD，NO=

1

2

AD，
则MQNO，所以MN∥OQ，
故MN⊥平面ACD；
（2）解：如图所示，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
B（2，0，1），A（2，2，0）C（0，0，2），
底面OPAD的一个法向量

m

=(0，0，1)，
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，

AB

=(0，-2，1)，

CB

=(2，0，-1)，
依题知：

n • AB =0×x-2×y+z=0   n • CB =2×x+0×y-z=0

，
即

-2y+z=0 2x-z=0

，
令x=1，则y=1，z=2，

n

=(1，1，2)，
所以 cos＜

m

，

n

＞=

2

1× 6

=

6

3

，
故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题在折叠前后的变量和不变量，是中档题．