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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立.

(Ⅰ)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由;

(Ⅱ)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;

(Ⅲ)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.

 

【答案】

(Ⅰ)f(x)= 

(Ⅱ)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,

所以方程组:有解,消去y得ax=x,

显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T.

于是对于f(x)=ax 

故f(x)=ax∈M.  

(Ⅲ)实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}  

【解析】(Ⅰ)把函数f(x)= x代入f(x+T)=T f(x)不恒成立,所以 函数f(x)= x 不属于集合M;(Ⅱ)由函数 且的图象与函数的图象有公共点,可得,存在非零常数T,使.把函数代入f(x+T)=T f(x),结合,可得函数属于集合M;(Ⅲ)先讨论实数是否为0,时显然成立;时,把函数代入整理得恒成立,所以.根据三角函数的诱导公式可得实数的值.

 

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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函数f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范围;
(3)设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点,证明:函数f(x)=2x+x2∈M.

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(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.

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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M;
(2)证明函数f(x)=log2x属于集合M,并找出一个常数k;
(3)已知函数f(x)=logax( a>1)与y=x的图象有公共点,证明f(x)=logax∈M.

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已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体;
①当x∈[0,+∞)时,函数值为非负实数;
②对于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三个函数f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1f3(x)=ln
x+1
中,属于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(写出您认为正确的所有函数.)

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(2011•嘉定区三模)已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为[
a
2
 , 
b
2
]
.若函数g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,则实数m的取值范围是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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