Question

在三角形中，对任意λ都有|

AB

-λ

AC

|≥|

AB

-

AC

|，则△ABC形状（　　）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形

Answer 1

在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，则|

AB

|=c，|

AC

|=b，|

AB

-

AC

|=|

BC

|=a，
∵对任意λ都有|

AB

-λ

AC

|≥|

AB

-

AC

|，
∴对任意λ都有|

AB

-λ

AC

|2≥|

AB

-

AC

|2，
即c²+λ²b²-2bcλcosA≥a²对任意λ恒成立，
即λ²b²-2bccosA•λ+c²-a²≥0恒成立，
∵b²＞0，
∴△=4b²c²cos²A-4b²（c²-a²）≤0，
∴c²sin²A≥a²，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin²Csin²A≥sin²A，
∴sin²C≥1，又C为△ABC的内角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC为直角三角形．
故选C．