A. | 3$+2\sqrt{2}$ | B. | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
分析 先根据条件画出可行域,z=ax+by,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y轴上的截距,只需求出直线z=ax+by过可行域内的点(2,4)时取得最大值,从而得到一个关于a,b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.
解答 解不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线ax+by=z(a>0,b>0)
过直线x-y+1=0与直线3x-y-3=0的交点A(2,4)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值2,
即2a+4b=2,即a+2b=1,
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=(a+2b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$,
当且仅当a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$-1时,取得最小值3+2$\sqrt{2}$.
故选A.
点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题.本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 24 | B. | -24 | C. | $\sqrt{5}$-1 | D. | 1-$\sqrt{5}$ |
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