Question

已知向量

OA

=3

i

-4

j

，

OB

=6

i

-3

j

，

OC

=（5-m）

i

-（4+m）

j

，其中

i

、

j

分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．
（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由已知向量的坐标分别求出

AB

，

AC

，

BC

的坐标，利用不向量共线列式求出m的值；
（2）直接由向量垂直数量积等于0列式求出m的值．

解答：解：（1）若A、B、C能构成三角形，
则

AB

，

AC

，

BC

相互不平行，

AB

=

OB

-

OA

=（6

i

-3

j

）-（3

i

-4

j

）=3

i

+

j

，

AC

=

OC

-

OA

=（5-m）

i

-（4+m）

j

-（3

i

-4

j

）=(2-m)

i

-m

j

，

BC

=

OC

-

OB

=（5-m）

i

-（4+m）

j

-（6

i

-3

j

）=(-1-m)

i

-(m+1)

j

，
即

2-m

3

≠-m，解得m≠-1

-1-m

3

≠-1-m，解得m≠-1

-1-m

2-m

≠

-1-m

-m

，解得m≠-1
综上：实数m应满足m≠-1；
（2）由∠A为直角，所以

AB

⊥

AC

，
则3（2-m）-m=0，所以m=

3

2

．

点评：本题考查向量共线的条件，考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．