Question

4．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+\frac{1}{2}（a∈R）$
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）若a=-1，求证：当x＞1时，f（x）＜x²．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，然后求解函数的导数，推a讨论，导函数的符号，求出函数的单调区间即可．
（2）构造函数$F（x）={x^2}-f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，利用导函数求解函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-alnx+\frac{1}{2}（a∈R）$的定义域为x＞0．
$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$．
若a≤0时，f′（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为：（0，+∞）．
若a＞0时，令f′（x）＞0，得x$＞\sqrt{a}$
即f（x）的单调区间为（$\sqrt{a}$，+∞），减区间为：（0，$\sqrt{a}$）…（6分）
（2）证明：设$F（x）={x^2}-f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$则$F'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}=\frac{（x-1）（x+1）}{x}＞0$
∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且F（1）=0
即F′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
∴当x＞1，f（x）＜x²…（12分）

点评 本题考查函数的导数判断函数的单调性函数的最值，考查构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．