Question

17．已知圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0（a∈R）．
（Ⅰ） 若a=1，求直线y=x被圆C所截得的弦长；
（Ⅱ） 若a＞1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M的动直线l与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求出圆心C（1，$\frac{1}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}$，求出圆心C到直线y=x的距离，由此利用勾股定理能求出直线y=x被圆C所截得的弦长．
（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入x²+y²=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论．

解答 解：（Ⅰ） 当a=1时，圆C：x²-2x+y²-y+1=0，
圆心C（1，$\frac{1}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+1-4}$=$\frac{1}{2}$，
圆心C（1，$\frac{1}{2}$）到直线y=x的距离d=$\frac{|1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直线y=x被圆C所截得的弦长为：2$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）令y=0，得x²-（1+a）x+a=0，即（x-1）（x-a）=0，解得x=1，或x=a，
∴M（1，0），N（a，0）．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$．
∵NA、NB的斜率之和为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=$\frac{k[（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-a）+（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-a）]}{（{x}_{1}-a）（{x}_{2}-a）}$，
而（x₁-1）（x₂-a）+（x₂-1）（x₁-a）
=2x₁x₂-（a+1）（x₂+x₁）+2a=$2×\frac{{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}-（a+1）×\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+2a=$\frac{2a-8}{1+{k}^{2}}$，
∵∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，即$\frac{2a-8}{1+{k}^{2}}$=0，得a=4．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．

点评 本题考查弦长的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意点到直线距离公式、韦达定理的合理运用．