Question

5．甲、乙两人连续6年对农村甲鱼养殖业（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，甲调查表明，每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只上升到第六年的2万只．

年	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年	第6年
每池产量	1万只	1.2万只	1.4万只	1.6万只	1.8万只	2万只

乙调查表明，甲鱼池的个数由第一年的30个减少到第6年的10个．

年	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年	第6年
鱼池个数	30个	26个	22个	18个	14个	10个

（1）求第2年全县产甲鱼的总数；
（2）到第6年这个县甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．
（3）求哪一年的规模最大？说明原因．

Answer 1

分析 （1）根据图象可知该县第2年甲鱼池的个数，根据由表可知该年平均每个甲鱼池出产甲鱼的只数，从而求出全县出甲鱼的总只数；
（2）根据表可知第1年全县甲鱼只数与第6年全县甲鱼只数，从而得到第6年全县甲鱼总只数比第1年是扩大了还是缩小了；
（3）根据表可知第1年到第6年，每年养甲鱼的个数构成首项为30，公差为-4的等差数列，从而得到第n年养甲鱼池的个数是a_n=34-4n（n=1，2，…，6），又从第1年到第6年，每个甲鱼池养甲鱼平均只数构成首项为1，公差为0.2的等差数列，从而第n年每个甲鱼池平均养甲鱼池只数是：b_n=0.2n+0.8（n=1，2，…，6），因此第n 年全县养甲鱼的总只数W_n=a_n•b_n，再求出最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由表可知：该县第2年甲鱼池有26个，该年平均每个甲鱼池出产1.2万只甲鱼，
所以全县共出产1.2×26=31.2（万只甲鱼）…（2分）
（2）依表可知：第1年全县甲鱼1×30=30（万只）
第6年全县甲鱼2×10=20（万只）
因此到第6年全县甲鱼总只数比第1年缩小了…（6分）
（3）依表可知：第1年到第6年，每年甲鱼池的个数构成首项为30，公差为-4的等差数列，
因此第n年甲鱼池的个数是：a_n=34-4n（n=1，2，…，6）…（8分）
又从第1年到第6年，每个甲鱼池养甲鱼平均只数构成首项为1，公差为0.2的等差数列，
因此第n年每个甲鱼池平均养甲鱼只数是：b_n=0.2n+0.8（n=1，2，…，6）…（10分）
因此第n 年全县养甲鱼的总只数W_n=a_n•b_n=（34-4n）（0.2n+0.8）=-0.8n²+3.6n+27.2=-0.8（n-2.25）²+31.25（n=1，2，…，6）…（14分）
可知：当n=2时，即第2年全县养甲鱼为31.2万只，规模最大．…（15分）
显然：W₁=30＞W₆=20，故第6年全县养甲鱼规模最小．…（16分）

点评 本题主要考查了数列的应用和对信息图和表的认识，以及等差数列的通项公式和二次函数的性质，属于中档题．