Question

已知(2-

3

x)50=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，其中a₀，a₁，a₂，…，a₅₀是常数，计算（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²=（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．2⁵⁰

Answer 1

分析：在已知等式中，分别令x=1和x=-1，得到2个等式①、②，由①②可得a₀+a₂+a₄+…+a₅₀ 的值和a₁+a₃+a₅+
…+a₄₉ 的值，从而求得 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值．

解答：解：在已知等式 (2-

3

x)50=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰中，令x=1，
可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a₄₉+a₅₀=(2-

3

)50  ①．
再令x=-1可得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a₄₉+a₅₀=(2+

3

)50 ②．
由①②可得a₀+a₂+a₄+…+a₅₀=

(2- 3 )2+(2+ 3 )2

2

，a₁+a₃+a₅+…+a₄₉ =

(2- 3 )2-(2+ 3 )2

2

，
故有 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²=(2+

3

)2•(2-

3

)2=1，
故选B．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，
求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．