Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是棱B₁C₁、B₁B₁、C₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面EAB；
（Ⅱ）是否存在过E、M点且与平面A₁FC平行的平面？若存在，请指出并证明之；若不存在，请说明
理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CF⊥平面EAB，可证CF⊥BE，CF⊥AB，其中CF⊥BE可由△BB₁E≌△BCF得到∠B₁BE=∠BCF，从而∠BCF+∠EBC=90°，根据线面垂直的判定定理进行判定即可；
（2）先找出符合题意的平面，然后进行证明，欲证平面EMN∥平面A₁FC，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，而EN∥平面A₁FC，MN∥平面A₁FC，EN∩MN=N，满足定理条件．

解答：（I）证明：在正方形B₁BCC₁中，∵E、F分别为B₁C₁、B₁B的中点，
∴△BB₁E≌△BCF，∴∠B₁BE=∠BCF，
∴∠BCF+∠EBC=90°，∴CF⊥BE
又AB⊥平面B₁BCC₁，CF?平面B₁BCC₁，∴AB⊥CF，
又∵AB∩BE=B，∴CF⊥平面EAB．
（II）设N是棱C₁C上的一点，且C₁N=

1

4

C₁C，
则平面EMN为符合要求的平面．
证明如下：
设H为棱C₁C的中点，∵C₁N=

1

4

C₁C，
∴C₁N=

1

2

C₁H，又E为B₁C₁的中点，∴EN∥B₁H，
又CF∥B₁H，∴EN∥CF，∴EN∥平面A₁FC
同理MN∥D₁H，D₁H∥A₁F，
∴MN∥A₁F，∴MN∥平面A₁FC．
EN∩MN=N，∴平面EMN∥平面A₁FC．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面平行的判定，这种题型是高考的趋势，属于基础题．