Question

已知函数f（x）=e^x-me^-x，若f′(x)≥2

3

恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[3，+∞）
• D、（-∞，3]

Answer 1

分析：由导数的运算法则可得f′（x），由f′(x)≥2

3

，得到m≥-e2x+2

3

ex，则f′(x)≥2

3

恒成立?m≥(-e2x+2

3

x)max．再利用指数函数和二次函数的单调性即可得出．

解答：解：由f（x）=e^x-me^-x，得f′（x）=e^x+me^-x，
由f′(x)≥2

3

，得到ex+me-x≥2

3

，
化为m≥-e2x+2

3

ex，
∴f′(x)≥2

3

恒成立?m≥(-e2x+2

3

ex)max．
令g（x）=-e2x+2

3

ex=-(ex-

3

)2+3≤3，
当且仅当ex=

3

，即x=

1

2

ln3时取等号．
∴m≥3，
即实数m的取值范围是[3，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了导数的运算法则、指数函数和二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法．