Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，a∈R．
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域，再求导f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，从而由导数判断函数的单调性；
（Ⅱ）求导f′(x)=

x+a

x2

，从而讨论a以确定函数的单调性，从而确定函数的最小值的点，从而求a．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
∵a＞0，
∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（Ⅱ）因为f′(x)=

x+a

x2

；
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=-a=2，
∴a=-2（舍去）． 
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min=f(e)=1-

a

e

=2，
所以，a=-e；
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，a=-e（舍去），
综上可知：a=-e．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，以及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．