Question

已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x=2．
（1）求椭圆方程；
（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由短轴和准线方程求出b和a的值，据焦点在x轴上写出椭圆的方程．
（2）用点斜式写出FN的方程，再由ON⊥NM，斜率之积等于-1得到一个等式，把FN的方程代入等式化简，
可得x²+y²=4，所以线段ON的长为定值2．
解答：解：（1）由题意知，b=1，=2，∴a=，c=1，焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为+y²=1．
（2）证明：∵F（1，0），点M（2，m），FN的方程为：y-0=（x-1）①，
∵过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，
∴ON⊥NM，∴K_ON•K_NM=-1，
即•=-1，∴x²+y²=2x+my  ②，
把①代入②得：x²+y²=2x+my=2x+m•（x-1）=2，
∴|ON|==，
∴线段ON的长为定值．
说明：若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有ON²=OP•OM，又OP•OM=OF•OQ=2，所以为定值．
点评：本题考查椭圆的方程、直线和圆的位置关系的应用．