Question

16．把a，b，c，d排成形如$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的式子，称为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算该$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）．（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}ax+by\\ cx+dy\end{array}}）$，运算的几何意义为：平面上的点（x，y）在矩阵$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）．
（1）求点（2，3）在$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）$的作用下形成的点的坐标．
（2）若曲线x²+4xy+2y²=1在矩阵$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）$的作用下变成曲线x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）=（{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}）$，即可得出结论；
（2）在曲线x²+4xy+2y²=1上任取一点（m，n），则$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}m\\ n\end{array}}）=（{\begin{array}{l}m+an\\ bm+n\end{array}}）$，将（m+an，bm+n）代入x²-2y²=1，由此能求出a，b的值．

解答 解：（1）$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）=（{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}）$，所以点（2，3）在$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）$的作用下变成点（3，2）．
（2）在曲线x²+4xy+2y²=1上任取一点（m，n），
则$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}m\\ n\end{array}}）=（{\begin{array}{l}m+an\\ bm+n\end{array}}）$，将（m+an，bm+n）代入x²-2y²=1，
得（m+an）²-2（bm+n）²=1，
即（1-2b²）m²+2（a-2b）mn+（a²-2）n²=1．
又点（m，n）在曲线x²+4xy+2y²=1上，所以m²+4mn+2n²=1．
前面两个式子对照，由待定系数法可知：$\left\{\begin{array}{l}1-2{b^2}=1\\ 2（a-2b）=4\\{a^2}-2=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}}\right.$，所以a+b=2．

点评 本题以矩阵为载体，考查矩阵的乘法，考查矩阵变换的应用．解题时要认真审题，仔细解答．