Question

11．已知函数f（x）=（x-2）|x+a|（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[-2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）a=1时，f（x）=（x-2）|x+1|，分段讨论可得函数的单调递增区间；
（2）当x∈[-2，2]时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x-1）（x+a），x＜-a\\（x-1）（x+a），x≥-a\end{array}\right.$，分段讨论可得函数f（x）的最大值g（a）的表达式．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=（x-2）|x+1|，
当x≤-1时，f（x）=-（x-2）（x+1）=-x²+x+2，
此时函数为增函数；
当x＞-1时，f（x）=（x-2）（x+1）=x²-x-2，
此时函数在（-1，$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数；
综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]，[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）当x∈[-2，2]时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x-1）（x+a），x＜-a\\（x-1）（x+a），x≥-a\end{array}\right.$，
①当-a≤-1，即a≥-1时，
若x∈[-2，1]，则f（x）≤0，
若x∈（1，2]，则f（x）＞0，且为增函数，
故g（a）=f（2）=2+a；
②当-a≥2且$\frac{1-a}{2}$≤2，即-3≤a≤-2时，
g（a）=f（$\frac{1-a}{2}$）=（$\frac{1-a}{2}$）²，
③当-a≥2且$\frac{1-a}{2}$＞2，即a＜-3时，
g（a）=f（2）=-2-a，
④当1＜-a＜2，即-2＜a＜-1时，
g（a）=max{f（$\frac{1-a}{2}$），f（2）}=max{（$\frac{1-a}{2}$）²，2+a}=$\left\{\begin{array}{l}a+2，1-2\sqrt{2}≤a＜-1\\（\frac{1-a}{2}）^{2}，-2＜a＜1-2\sqrt{2}\end{array}\right.$
综上可得：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}a+2，a≥1-2\sqrt{2}\\（\frac{1-a}{2}）^{2}，-3≤a＜1-2\sqrt{2}\\-a-2，a＜-3\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的最值及其几何意义，难度中档．