Question

表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为

3

，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S-ABC体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：棱锥S-ABC的底面积为定值，欲使棱锥S-ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S-ABC体积的最大值．

解答： 解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为

15

，
设△ABC的中心为D，则OD=

3

，所以DA=2

3

，则AB=6
棱锥S-ABC的底面积S=

3

4

×62=9

3

为定值，
欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，
又平面SAB⊥平面ABC，
∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=

15

，点D到直线AB的距离为

3

，
则S到平面ABC的距离的最大值为3

3

，
∴V=

1

3

×9

3

×3

3

=27．
故答案为：27．

点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．