Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（I）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设直线PB与平面PAD所成的角为45°，AP=2，AD=2$\sqrt{3}$，求三棱E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （I）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）由题意，三棱锥E-ACD的体积=三棱锥P-ACD的体积的一半．

解答 （I）证明：连接BD，交AC于F，
由E为棱PD的中点，F为BD的中点，
则EF∥PB，
又EF?平面EAC，PB?平面EAC，
则PB∥平面EAC；
（Ⅱ）解：由题意，三棱锥E-ACD的体积=三棱锥P-ACD的体积的一半．
∵PA⊥平面ABCD，直线PB与平面PAD所成的角为45°，AP=2，
∴AB=2，
∵AD=2$\sqrt{3}$，底面ABCD为矩形，
∴三棱锥E-ACD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查三棱锥E-ACD的体积，注意定理的条件的全面性是解题的关键．