Question

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到，整理得证．
（2）由，可证，进而得从而可证
（3）先证a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，再令：，从而利于放缩法可证．
解答：解：（1）点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…必在射线，
∴为⊙P_n的半径，
∵⊙P_n与⊙P_n+1外切，
∴①…（3分）
化简①式得：3x_n+1²-10x_nx_n+1+3x_n²=0，解得：x_n+1=3x_n或，
∵x_n+1＜x_n，∴，∴数列{x_n}是等比数列，∵x₁=1，则…（5分）
（2），而a_n＞0，x_n＞0，
∴，∴，∵a₁=1，
∴
∴…（8分）
设
∵
当n=2时，，必有S₂＜T₂
当n＞2时，
∵
∴=…（13分）
（3）∵，∴1=a₁＞a₂＞…＞a_n＞0
令：，则=…（18分）
∵0＜a₂＜∴=…20分．
点评：本题以相切为素材，考查数列与解析几何的综合，考查数列与不等式，技巧性强，难度大．