Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有

 

．
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=3^x （x∈R）；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，根据倍值区间的定义，验证四个函数是否存在倍值区间即可，先令f（x）=2x，至少有两个不同的解，且在解构成的区间上单调即可．

解答： 解：①f（x）=x²（x≥0）的倍值区间为[0，2]，故正确；
②如图，

方程3^x=2x没有解，
故f（x）=3^x （x∈R）没有倍值区间；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）的倍值区间为[0，1]，故正确；
④方程|x|=2x仅有一个解0；
故f（x）=|x|（x∈R）没有倍值区间；
故答案为：①③．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，属于中档题．