Question

16．已知M是△ABC内的一点，且|AB||AC|=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为$\frac{1}{2}$、x、y，则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值为（　　）

• A． 20
• B． 19
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$转化成2（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）•（x+y），利用基本不等式求得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 解：由|AB||AC|=4，∠BAC=30°，
得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin∠BAC=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$=1，
故S_△ABC=x+y+$\frac{1}{2}$=1⇒x+y=$\frac{1}{2}$，
而$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）•（x+y）
=2（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥2（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=18，
故选C．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，三角形的面积公式的运用．要注意灵活利用y=ax+$\frac{b}{x}$的形式．