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    4．已知sinA是有理数，求证：对任意正整数n，cos2nA是有理数．

    分析 由数学归纳法和二倍角的余弦公式证明即可．

    解答 证明：（1）n=1时，由sinA是有理数可得cos2A=1-2sin2A为有理数；
    （2）假设n=k时，cos2kA为有理数，
    当n=k+1时，cos2k+1A=cos2•2kA
    =2cos22kA-1也为有理数；
    由数学归纳法可知：对任意正整数n，cos2nA是有理数．

    点评 本题考查三角恒等式的证明，涉及数学归纳法和二倍角的余弦公式，属中档题．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PD中点，求PC与平面PAB所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    15．已知二次函数f（x）=x2-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为（　　）
    A．（-2，0）B．（-1，0）C．（-2，-1）D．[-2，0]

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．设D为△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{CD}$，则（　　）
    A．$\overrightarrow{AD}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$B．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AC}$C．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$D．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．
    （1）求证PO⊥AC；
    （2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．函数$y=2cos（\frac{π}{4}-2x）$的单调减区间是（　　）
    A．$\{x|kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}，k∈Z\}$B．{x|kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
    C．{x|2kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z}D．{x|2kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．下列函数中，既是偶数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
    A．$y=\frac{1}{x}$B．y=exC．y=-x2D．y=lg|x|

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    13．已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（　　）
    A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．$[2\sqrt{2}，+∞）$D．$（2\sqrt{2}，+∞）$

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    14．①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为真命题；
    ②命题“?x∈N，x3＞x2”的否定是“?x0∈N，使x${\;}_{0}^{3}$＞x${\;}_{0}^{2}$”；
    ③“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件；
    ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题；
    ⑤a＞1是（a-2）（a-1）＞0的必要不充分条件．
    其中正确命题的序号是①③．

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