Question

8．设A（-1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足MA=$\sqrt{2}$MB，则u=$\frac{2x+y-6}{x-y-3}$的取值范围是R．

Answer 1

分析 求出动点M满足的方程是什么，再利用参数法表示出点M的坐标，代入u中，利用三角函数求出u的取值范围．

解答 解：设M（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴MA=$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$，MB=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$；
∵点M满足MA=$\sqrt{2}$MB，
∴$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
即（x+1）²+y²=2（x-1）²+2y²，
化简整理得x²+y²-6x+1=0，
∴（x-3）²+y²=8；
设x-3=2$\sqrt{2}$cosθ，y=2$\sqrt{2}$sinθ，
∴x=3+2$\sqrt{2}$cosθ；
把x=3+2$\sqrt{2}$cosθ，y=2$\sqrt{2}$sinθ代入u，
得u=$\frac{2（3+2\sqrt{2}cosθ）+2\sqrt{2}sinθ-6}{（3+2\sqrt{2}cosθ）-2\sqrt{2}sinθ-3}$
=$\frac{4\sqrt{2}cosθ+2\sqrt{2}sinθ}{2\sqrt{2}cosθ-2\sqrt{2}sinθ}$；
当cosθ=0时，u=-1，
当cosθ≠0时，u=$\frac{2+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{3}{1-tanθ}$-1，
∵1-tanθ≠0，∴$\frac{3}{1-tanθ}$≠0，
∴u≠-1；
综上，u的取值范围是R．
故答案为：R．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了求函数取值范围的应用问题，是综合性题目．