Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=1，且AC⊥BC，过C₁作截面分别交AC，BC于E，F，且二面角C₁-EF-C为60°，则三棱锥C₁-EFC体积的最小值为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  9

• C．

  1

  6

• D．

  6

  18

Answer 1

分析：先根据二面角求出在三角形CEF斜边EF边上的高，设CE=a，CF=b，则EF=

a2+b2

，然后等面积建立等式，再利用基本不等式求出ab的最值，利用体积公式表示出三棱锥C₁-EFC体积，从而求出体积的最小值．

解答：解：∵二面角C₁-EF-C为60°
∴在三角形CEF斜边EF边上的高为

3

3

设CE=a，CF=b，则EF=

a2+b2

在三角形CEF中ab=

a2+b2

•

3

3

≥

2ab 3

∴ab≥

2

3

三棱锥C₁-EFC体积V=

1

3

× 

1

2

abCC1=

1

6

ab≥

1

9

故选B．

点评：本题主要考查了二面角的应用，以及锥体的体积和基本不等式求最值，属于中档题．