Question

10．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（Ⅰ）　若|AB|=$\frac{16}{3}$，求直线l的方程．
（Ⅱ）　求|AB|的最小值．并求出此时直线1的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程为：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韦达定理和抛物线的定义，能够求出直线l的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值，并求出此时直线1的方程．．

解答 解：（Ⅰ）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y₁+y₂=-4m
根据抛物线的定义知：
|AB|=x₁+x₂+2=（1-my₁）+（1-my₂）=4（m²+1）
若|AB|=$\frac{16}{3}$，则4（m²+1）=$\frac{16}{3}$，∴m=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$
即直线l有两条，其方程分别为：x$±\frac{\sqrt{3}}{3}$y-1=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4（m²+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．此时直线1的方程x-1=0．

点评 本题考查直线方程的求法，考查弦的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线简单性质、韦达定理等知识点的灵活运用．