Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的短轴长为2，离心率 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试求k为何值时，三角形OAB是以O为直角顶点的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： （a＞b＞0）的短轴长为2，离心率 ，

∴ ，

解得a2=2，b2=1，

∴椭圆方程为 =1

（2）解：由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=k（x﹣2），

由 ，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

∵斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，

∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，

解得： ，即k∈（﹣ ， ），

设A（x1，y1），B（x2，y2）， ， ，

∵O为直角顶点，∴ ，

∵y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2），

∴ =0，解得k= ，满足k2 ，∴k=

【解析】（1）由椭圆短轴长为2，离心率 ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆 +y2=1中，得到关于x的一元二次方程，由判别式求出k的取值范围，和用k表示的x1+x2 ， x1x2的表达式，根据向量垂直的坐标表示的充要条件列出关于k的方程，求解即可．