Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三角形的面积为

3

，又

cosC

cosB

=

c

2a-b

，则

1

b+1

+

9

a+9

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,正弦定理

专题：导数的综合应用,解三角形

分析：由

cosC

cosB

=

c

2a-b

，由正弦定理可得

cosC

cosB

=

sinC

2sinA-sinB

，可得cosC=

1

2

，C．利用

1

2

absin

π

3

=

3

，可得ab=4．可得

1

b+1

+

9

a+9

=

a

4+a

+

9

a+9

=f（a），（a＞0）．再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：由

cosC

cosB

=

c

2a-b

，利用正弦定理可得

cosC

cosB

=

sinC

2sinA-sinB

，
化为2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

．
∵三角形的面积为

3

，
∴

1

2

absinC=

1

2

absin

π

3

=

3

，∴ab=4．
∴b=

4

a

．
∴

1

b+1

+

9

a+9

=

a

4+a

+

9

a+9

=f（a），（a＞0）．
∴f′（a）=

4

(4+a)2

-

9

(a+9)2

=

-5(a+6)(a-6)

(a2+13a+36)2

，
当a＞6时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减；当0＜a＜6时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增．
∴当a=6时，f（a）取得最大值，f（6）=

6

5

．
∴

1

b+1

+

9

a+9

的最大值为

6

5

．
故答案为：

6

5

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、正弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．