Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，CC₁=2，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A₁，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值．

解答 解：连结BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠C₁A₁B是异面直线A₁B与AC所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{6}$，BC₁=$\sqrt{5}$，A₁C₁=1，
∴cos∠C₁A₁B=$\frac{1+6-5}{2×1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理的运用，作出异面直线A₁B与AC所成角是关键．