Question

若直线y=ax与函数y=lnx的图象相切于点P，则切点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据切点在曲线上，可以设切点P（m，lnm），根据导数的几何意义，可以得到切线的斜率a=y′|_y=m，再由切点在切线上，可以得到lnm=am，解两个方程，即可得到m的值，从而得到切点坐标．

解答：解：根据切点P在曲线上，
∴设切点P的坐标为（m，lnm），
∵函数y=lnx，
∴y′=

1

x

，
根据导数的几何意义可以得到，切线的斜率a=y′|_y=m=

1

m

，①
又切点P（m，lnm）在切线上，
∴lnm=am，②
由①②，解得m=e，
∴lnm=lne=1，
∴切点P的坐标为（e，1）．
故答案为：（e，1）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．