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设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.
(Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域;
(Ⅲ)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围.
分析:(1)先对函数f(x)进行求导,令导函数大于0可求函数的增区间,令导函数小于0可求函数的减区间.
(2)令f(x)=g(x)整理可得x[x2-(a2-2)]=0,故a2-2≤0求出a的范围,再根据g(x)存在最小值必有a>0,最后求出h(a)的值域即可.
(3)分别求出函数f(x)与g(x)的单调区间,然后令(a,a+2)为二者单调增区间的子集即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
a
3
)(x+a)
,又a>0,
∴当x<-a或x>
a
3
时,f'(x)>0;
-a<x<
a
3
时,f'(x)<0,
∴f(x)在(-∞,-a)和(
a
3
,+∞)
内是增函数,在(-a,
a
3
)
内是减函数.
(Ⅱ)由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1,
即x[x2-(a2-2)]=0恰有一根(含重根).∴a2-2≤0,即-
2
≤a≤
2

又a≠0,∴a∈[-
2
,0)∪(0,
2
]

当a>0时,g(x)才存在最小值,∴a∈(0,
2
]

g(x)=a(x-
1
a
2+1-
1
a

h(a)=1-
1
a
,a∈(0,
2
]

h(a)≤1-
2
2

∴h(a)的值域为(-∞,1-
2
2
]

(Ⅲ)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和(
a
3
,+∞)
内是增函数,g(x)在(
1
a
,+∞)
内是增函数.
由题意得
a>0
a≥
a
3
a≥
1
a
,解得a≥1;
当a<0时,f(x)在(-∞,
a
3
)
和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在(-∞,
1
a
)
内是增函数.
由题意得
a<0
a+2≤
a
3
a+2≤
1
a
,解得a≤-3;
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即当导函数小于0时原函数单调递减,当导函数大于0时原函数单调递增.
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12
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