设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.
(Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域;
(Ⅲ)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围.
分析:(1)先对函数f(x)进行求导,令导函数大于0可求函数的增区间,令导函数小于0可求函数的减区间.
(2)令f(x)=g(x)整理可得x[x2-(a2-2)]=0,故a2-2≤0求出a的范围,再根据g(x)存在最小值必有a>0,最后求出h(a)的值域即可.
(3)分别求出函数f(x)与g(x)的单调区间,然后令(a,a+2)为二者单调增区间的子集即可.
解答:解:(Ⅰ)∵
f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a),又a>0,
∴当
x<-a或x>时,f'(x)>0;
当
-a<x<时,f'(x)<0,
∴f(x)在(-∞,-a)和
(,+∞)内是增函数,在
(-a,)内是减函数.
(Ⅱ)由题意知x
3+ax
2-a
2x+1=ax
2-2x+1,
即x[x
2-(a
2-2)]=0恰有一根(含重根).∴a
2-2≤0,即
-≤a≤
,
又a≠0,∴
a∈[-,0)∪(0,].
当a>0时,g(x)才存在最小值,∴
a∈(0,].
g(x)=a(x-
)
2+1-
,
∴
h(a)=1-,a∈(0,].
h(a)≤1-
;
∴h(a)的值域为
(-∞,1-].
(Ⅲ)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和
(,+∞)内是增函数,g(x)在
(,+∞)内是增函数.
由题意得
,解得a≥1;
当a<0时,f(x)在
(-∞,)和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在
(-∞,)内是增函数.
由题意得
,解得a≤-3;
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即当导函数小于0时原函数单调递减,当导函数大于0时原函数单调递增.