【题目】某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.367 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(I)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望;
(II)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(i)根据所给统计量,求关于的回归方程;
(ii)已知优等品的收益(单位:千元)与的关系为,则当优等品的尺寸为何值时,收益的预报值最大? (精确到0.1)
附:对于样本, 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
【答案】(1)见解析(2)(i),(ii)
【解析】分析:(1)要求随机变量的分布列,应先确定抽取的6件合格产品中,优等品的件数,应确定区间的大致范围,即。进而由抽取6件合格产品的测得数据可得有3件为优等品,3件为非优等品。所以取到优等品的件数,进而求这四种取值时的概率,进而可得分布列。用期望公式即可求得期望。(2)(i)因为中的与之间不是直线性回归关系,故两边取对数可得,换元令,得且,根据题中所给的表中数据可求出
进而可求得求得
所求关于的回归方程为。(ii)要求当优等品的尺寸为何值时,收益的预报值最大。应用来表示收益。故将代入可得。
可令,则可变为,这个是关于的二次函数,要求其最大值,应先求自变量的取值范围。由优等品质量与尺寸的比可求得,进而可得,即。将配方可得 。由二次函数的性质可知当时,取最大值。进而可求当优等品的尺寸,收益的预报值最大。
详解:(1)解:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内,即
则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品
现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数
的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
(2)解:(i)对两边取自然对数得,
令得且
根据所给统计量及最小乘估计公式有,
得得
所求关于的回归方程为可知,
(ii)由(i),,则
由优等品质量与尺寸的比即
令
当时,取最大值
即优等品的尺寸,收益的预报值最大.
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【题目】已知函数f(x)=﹣sin2x+sinxcosx+,x∈[0,]
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若f()=,α∈(0,π),求sinα的值.
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【题目】袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和数学期望.
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【题目】如图所示,某地出土的一种“钉”是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上.并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为,钉尖为.
(1)判断四面体的形状,并说明理由;
(2)设,当在同一水平面内时,求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(3)若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小,且保持三个线段与底面成角相同,若,,问为何值时,的体积最大,并求出最大值.
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【题目】已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素,求的取值范围;
(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
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【题目】(本小题共分)
若或,则称为和的一个位排列,对于,将排列记为,将排列记为,依此类推,直至,对于排列和,它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数,叫做和的相关值,记作,例如,则,,若,则称为最佳排列.
(Ⅰ)写出所有的最佳排列.
(Ⅱ)证明:不存在最佳排列.
(Ⅲ)若某个(是正整数)为最佳排列,求排列中的个数.
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【题目】已知函数,,.
(1)当时,若在区间上单调递减,求a的取值范围;
(2)求满足下列条件的所有实数对:当a是整数时,存在,使得是的最大值,是的最小值;
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【题目】写出下列各组命题构成的“或”、“且”以及“非”形式的命题,并判断它们的真假.
(1):是有理数,:是整数;
(2):不等式的解集是,:不等式的解集是.
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