【题目】已知函数
（其中
）
(Ⅰ) 若
在其定义域内为单调递减函数，求
的取值范围；
(Ⅱ) 是否存在实数
，使得当
时，不等式
恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中
是自然对数的底数，＝2.71828…）.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) 
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先求得导函数，然后分
、
讨论函数的单调性，由此求得
的取值范围；(Ⅱ) 首先求得导函数，然后分
、
讨论函数的单调性并求得其极值，然后根据各段函数的最值求得
的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) 由于
，其中
，
，
只需
在
时恒成立，
①当
时，
，于是
在
为减函数，
②当
时，由
在
时恒成立，即
在恒成立，
可知当时，
，
由
得
，这与不符，舍去.
综上所述，
的取值范围是
.
(Ⅱ) 
.
(ⅰ) 当时，
，于是
在为减函数，则在
也为减函数，
知
恒成立，不合题意，舍去
(ⅱ) 当
时，由
得
.列表得
x | (0， |
| ( |
| ＋ | 0 | － |
| ↗ | 极大值 | ↘ |
①若
，即
，此时
在上单调递减，
知
，而
，
于是
恒成立，不合题意，舍去.
②若
，即
时，
此时在(
，
上为增函数，在(
,
)上为减函数，
要使在恒有
恒成立，则必有
则
所以
由于
，则
，所以
.
综上所述，存在实数，使得
恒成立
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，设椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，上顶点为
，左、右焦点分别为
，线段
的中点分别为
，且
是面积为
的直角三角形.
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过
作直线交椭圆于
两点，使
，求
的面积.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的焦距为2，左、右顶点分别为
，
是椭圆上一点，记直线
的斜率为
，且有
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆交于
两点，以
为直径的圆经过原点，且线段
的垂直平分线在
轴上的截距为
，求直线
的方程.
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【题目】某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴所有职工20元组成；③后续保养的平均费用是每单位
元（试剂的总产量为
单位，
）.
（1）把生产每单位试剂的成本表示为
的函数关系
，并求的最小值；
（2）如果产品全部卖出，据测算销售额
（元）关于产量（单位）的函数关系为
，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，点
为坐标原点，若椭圆
与曲线
的交点分别为
（
下
上），且两点满足
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任一点
，作
的两条切线，切点分别为
，且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
，证明：
为定值．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知圆
及点
，
．
（1）若直线
平行于
，与圆
相交于
，
两点，
，求直线
的方程；
（2）在圆
上是否存在点
，使得
？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】记
表示
中的最大值，如
.已知函数
，
.
（1）设
，求函数
在
上零点的个数；
（2）试探究是否存在实数
，使得
对
恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由.
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