Question

已知a＞0，函数f（x）=lnx-a²x²-ax，1≤x≤e，f′（2）=0，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，利用f′（2）=0，求出a，得到函数的解析式，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的极小值与端点值比较大小请查收的最小值．

解答： 解：∵f'（x）=-

(2ax-1)(ax+1)

x

，
∴f'（2）=-

(4a-1)(2a+1)

2

=0，又∵a＞0，
∴4a-1=0，a=

1

4

，
∴f（x）=ln x-

1

16

x²-

1

4

x，
f'（x）=-

(x-2)(x+4)

8x

，1≤x≤e，4分
∴1≤x≤2时，f'（x）＞0；2≤x≤e时，f'（x）＜0，
f（x）在区间[1，2]上是增函数，在区间（2，e]上是减函数，
∴f（x）_min={f（1），f（e）}_min.8分
∵f（1）-f（e）=-

5

16

+

e2+4e-16

16

=

e2+4e-21

16

＜

32+4×3-21

16

=0，
∴f（x）_min=f（1）=-

5

16

.10分．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最小值的求法，考查分析问题解决问题的能力．