【题目】某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级．随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：
（Ⅰ）试确定图中
与
的值；
（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照
分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；
（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
， 
（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由频数分布条形图得
由频率分布条形图得
（Ⅱ）由平均数计算公式得：甲校的平均值为
；乙校的平均值为
（Ⅲ）由分层抽样得甲校抽2人，乙校抽3人，利用枚举法得从中随机选2人一共有10种基本事件，其中两人来自同一学校包含4种基本事件，因此所求概率为
试题解析：（Ⅰ） 
；……………………2分
（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为
．
乙校的平均值为
．…………………………6分
（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作
；乙校抽3人，分别记作
．
从5人中任选2人一共有10个基本事件； 
；
其中2人来自同一学校包含
，
所以所求事件的概率
．……………………12分
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【题目】已知
的顶点
边上的中线
所在直线方程为
，
边上的高所在直线的方程为
.
（1）求的顶点
的坐标；
（2）若圆
经过不同三点
，且斜率为
的直线与圆相切与点
，求圆的方程.
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【题目】已知椭圆
： 
（
）的两个焦点为
， 
，离心率为
，点
， 
在椭圆上， 
在线段
上，且
的周长等于
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过圆
： 
上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
， 
，求
面积的最大值．
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.
（1）试根据上述数据完成
列联表；
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | 45 | ||
比较粗心 | |||
合计 | 60 | 100 |
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？
参考数据：独立检验随机变量
的临界值参考表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
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【题目】设函数
.
（Ⅰ）若
在
处的切线与直线
平行，求
的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数
的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，证明
.
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【题目】(本题满分15分)已知椭圆
：
过点
，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
分别为椭圆的左、右焦点，过
的直线
与椭圆交于不同两点
，记
的内切圆的面积为
，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．
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