Question

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0），对任意非零实数x₁、x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁x₂），
（1）求f（1）+f（-1）的值；　
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）已知y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

解：（1）分别令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1代入可得f（1）=0，f（-1）=0
∴f（1）+f（-1）=0
（2）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，
∴f（64）=3f（4）=3
故原不等式可化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∴-64≤（3x+1）（2x-6）≤64且（3x+1）（2x-6）≠0
解得：．
分析：（1）先令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1求得f（1）=0，f（-1）=0即可；
（2）由（1）得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），从而得到f（x）为偶函数；
（3）根据题意，不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3可化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），然后-64≤（3x+1）（2x-6）≤64且（3x+1）（2x-6）≠0即可求出实数x的取值范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．