Question

【题目】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．

求椭圆E的方程；

过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】1；2.

【解析】

设出椭圆的方程，得到关于a，c的方程组，解出即可求出椭圆方程；

假设存在符合条件的点，设，，求出，通过讨论当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出m的值，当直线l的斜率不存在时，求出直线方程，代入检验即确定．

设椭圆E的方程为，

由已知得，解得：，

所以．

所以椭圆E的方程为．

假设存在符合条件的点，

设，，

则，，

，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由，得：，

，，

，

，

对于任意的k值，上式为定值，

故，解得：，

此时，为定值；

当直线l的斜率不存在时，

直线l：，，，，

由，得为定值，

综合知，符合条件的点M存在，其坐标为．