Question

已知锐角α、β、γ满足：cos²α+cos²β+cos²γ=1，则tanαtanβtanγ的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由cos²α+cos²β+cos²γ=1想到一个数学模型即三个角可看作是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱的所成的角，设出长方体的三条棱，然后根据三角函数的定义表示出tanαtanβtanγ，利用基本不等式可求出最小值．

解答：解：由cos²α+cos²β+cos²γ=1联想到锐角α、β、γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，
记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c，
则tanαtanβtanγ=

b2+c2

a

•

a2+c2

b

•

a2+b2

c

≥

2bc

a

•

2ac

b

•

2ab

c

=2

2

，当且仅当a=b=c时，等号成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值为2

2

．
故答案为2

2

点评：本题考查了利用现有的数学模型即长方体的对角线与棱所成的角来解决实际问题，同时要会用基本不等式求最值，学生在做题时，能否想到这个数学模型是解题的关键也是一个难点．